Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Характеристики ДСВ и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, СКО
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Пример. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:
9.2 Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.
Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Решение:
9.3 Дисперсия дискретной случайной величины
Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.
Поэтому применяется другой способ.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания .
Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
9.4 Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 
.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.
9.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.
В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:
m 1
х 1
,
m 2
- число подшипников с внешним диаметром х 2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n
- число подшипников с внешним диаметром х n
,
Здесь m 1 +m 2 +...+m n =N
. Найдем среднее арифметическое
значение x ср
внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину ,
принимающую значения х 1
, х 2
, ..., х n
, c соответствующими вероятностями
p 1 =m 1 /N
, p 2 =m 2 /N
, ..., p n =m n /N
,
так как вероятность p i
появления подшипника с внешним диаметром x i
равна m i /N
.
Таким образом, среднее арифметическое значение x ср
внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения
Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей
Значения
х 1
х 2
. . .
х n
Вероятности
p 1
p 2
. . .
p n
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *
При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.
1°.
Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной
.
Доказательство.
Постоянную C
можно рассматривать как случайную величину , которая
может принимать только одно значение C
c вероятностью равной единице. Поэтому 
2°.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
, т.е.
Доказательство.
Используя соотношение (39), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин :
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Определение математического ожидания в общем случае
Определим математическое ожидание случайной величины, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.
Лемма 1. Пусть есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что
Доказательство. Разобьем полуось на равные отрезки длины и определим
Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины, и
Лемма 2. Пусть -неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда
Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем
В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность положительных чисел, такая что
Отсюда следует, что
Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем
Переходя к пределу при получаем утверждение леммы 2.
Определение 1. Пусть - неотрицательная случайная величина, -последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число
Лемма 2 гарантирует, что не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
Пусть теперь - произвольная случайная величина. Определим
Из определения и легко следует, что
Определение 2. Математическим ожиданием произвольной случайной величины называется число
Если хотя бы одно из чисел в правой части этого равенства конечно.
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Доказательство. Будем рассматривать постоянную как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью следовательно,
Замечание 1. Определим произведение постоянной величины на дискретную случайную величину как дискретную случайную возможные значения которой равны произведениям постоянной на возможные значения; вероятности возможных значений равны вероятностям соответствующих возможных значений Например, если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина примет значение также равна
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины
Замечание 2. Прежде, чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин и как случайную величину возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна, вероятность возможного значения равна то вероятность возможного значения равна
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:
Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение; в итоге получим и учитывая замечание 3, напишем закон распределения предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Доказательство. Пусть случайные величины и заданы следующими законами распределения:
Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению прибавим каждое возможное значение; получим Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через и
Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
Докажем, что Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства
Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим
или окончательно
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.
Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.
К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия .
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .
Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w)
, находят как интеграл
Лебега
по отношению к вероятностной мере Р
исходном
вероятностном пространстве
Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р Х величины X :
где - множество всех возможных значений X .
Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р Х . Например , если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная борелевская функция Х , то:
Если F(x) - функция распределения X , то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):
при этом интегрируемость X в смысле (* ) соответствует конечности интеграла
В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х k , k=1, 2 , . , и вероятностями , то
если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х) , то
при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.
Свойства математического ожидания случайной величины.
- Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:
C - постоянная;
- M=C.M[X]
- Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:
- Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:
M=M[X]+M[Y]
если X и Y независимы.
если сходится ряд:
Алгоритм вычисления математического ожидания.
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.
1. По очереди перемножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
Напрмер , для n = 4 :
Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.
Пример: Найти математическое ожидание по формуле.
