Как работает двутавровая балка на изгиб. Подбор сечения балки из прокатного двутавра

Доброго времени суток друзья, я буду сегодня писать о том, как подобрать двутавровое поперечное сечение при плоском

Поперечное сечение при плоском изгибе всегда подбирается по нормальным напряжениям, так как касательные напряжения при данном виде деформации мизерны.

Так вот, условие прочности при плоском изгибе будет выглядеть так:

В неравенстве слева у нас получается записано максимальное расчетное напряжение, а справа напряжение допустимое.

Максимальное расчетное напряжение в находят двумя способами:

Как отношение максимального изгибающего момента к моменту сопротивления

Либо по такой формуле:

Где М — максимальный изгибающий момент, y-расстояние от нейтральной линии до крайней точки сечения, J –момент инерции.

Момент инерции и момент сопротивления связаны следующей связью:

Отсюда и появилось две формулы.

Когда какую формулу удобнее использовать?

Если в условии задачи вас просят найти максимальное напряжение, то используйте формулу с моментом сопротивления. То есть по этой формуле вы сразу вычислите напряжения в крайних точках сечения.

Если вам потребуется найти напряжение в любой другой точке сечения, например, в месте перехода полки в стенку, то используйте вторую формулу.

Ну что же, самое время перейти к практике. Например, посчитали вы балку, построили эпюры и нужно теперь подобрать двутавр удовлетворяющий условию . Для этого вам нужно:

Проанализировать эпюру и определить положение наиболее опасного сечения. Опасным считаем то сечение, в котором изгибающий момент максимален. Скажем, у вас он будет равен 30 кН.

Нашли момент сопротивления. Далее по сортаменту двутавров (ГОСТ8239-89) выбираем номер двутавра,у которого момент сопротивления будет ближайшим большим к нашему расчетному. Это двутавр № 20а у которого момент сопротивления равен 203 см 3

Делаем проверочный расчет. Вычисляем напряжение с табличным значением момента сопротивления.

Так как получили напряжение меньшее, чем допустимое, можно сделать вывод что подобранный двутавр удовлетворяет условию прочности.В некоторых учебниках допускают перенапряжение для стандартного проката не больше 5%. То есть можно было взять и посчитать напряжение для двутавра №20, у которого момент сопротивления чуть меньше, чем наше расчетное значение. И мне кажется, что перенапряжение бы было меньше 5 %.

Стальная балка постоянного поперечного сечения нагружена двумя силами Р 1 , Р 2 и внешним изгибающим моментомМ (схемаа на рис. 11 и 12) или силойР 1 , моментомМ и распределенной нагрузкой интенсивностьюq (схемаб на рис. 11 и 12).

Требуется:

– определить реакции опор, выполнив проверку полученных значений;

– построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, записав их аналитическое выражение для каждого из участков;

– определить положение опасного сечения балки и внутренние силовые факторы, действующие в нем;

– из расчета на прочность по нормальным напряжениям при изгибе подобрать для каждой схемы нагружения размеры поперечного сечения для трех вариантов изготовления балки (для схемы а поперечное сечение имеет вид круга диаметромd , прямоугольника с определенным соотношением высотыh и шириныb , двутавра, а для схемыб – кольца с заданным отношением внутреннегоd и наружногоD диаметров, квадрата и швеллера);

– сравнить массы полученных для каждой схемы балок и выбрать наиболее экономичное сечение.

Геометрические характеристики сечений приведены в приложении.

Номер схемы соответствует последней цифре варианта, а номер строки в таблице 3 – первой цифре варианта.

Таблица 3

Исходные данные для расчета балки при изгибе

варианта

P 1 ,

P 2 ,

M ,

q ,

c ,

Рис. 11. Схемы нагружения балок

Рис. 12. Схемы нагружения балок

Пример выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 13);

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: пары сил с моментами

и

; силуР ; распределенную нагрузку интенсивностьюq и реакции опорА иВ (рис. 13).

Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – Z А и Y А ; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – R B .

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

Из этих уравнений Z А = 0 кН; Y А = 30 кН;R B = 30 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В :

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 14.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов

.

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

I

участок (

):

Рис.15. УчастокI

На границах участка:

при

м

при

II участок (

):

Рис. 16. УчастокII

На границах участка:

при

Так как поперечная сила Q 2 на участке меняет знак, то эпюра изгибающего момента в этом сечении имеет минимум или максимум. ПриQ 2 = 0 координата

м. Значение изгибающего момента в этом сечении:

I

II участок (

):

Рис. 17. УчастокIII

На границах участка:

при

м

при

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 14).

3. Определение положения опасного сечения.

Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе второго и третьего участков, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [σ] = 190 МПа:

Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

5.2. Квадрат:

5.3. Прямоугольник с соотношением сторон h / b = 2:

5.4. Кольцо с соотношением α = d /D = 0,7:

5.5. Двутавр: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239 – 89) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления большим или равным расчетному. В данном случае это двутавр №27, у которого

Сравнение масс полученных балок.

Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения. При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:

Таким образом, наиболее выгодной является балка двутаврового сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 4,39 раза меньше, чем у балки круглого сечения.

1. Строят эпюры Q x и M x (см. практическую работу № 9).

2. Подбирают сечение стальной балки в следующем порядке:

а) определяют требуемый момент сопротивления сечения балки:

где М max - наибольший по абсолютному значению изгибающий момент, принимаемый по эпюре M x ; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести (прил. VIII);

б) по ГОСТам прил. I подбираем номер двутавровой стальной балки, которая должна иметь момент сопротивления W x , наиболее близкий к значению требуемого момента сопротивления

3. Проверяют прочность принятой двутавровой балки по нормальным напряжениям. Такую проверку выполняют для сечения с нибольшим изгибающим моментом:

где Wx – момент сопротивления приятого сечения.

Если условие удовлетворительно, то прочность балки по нормальным сечениям считается обеспеченной, и наоборот.

4. Строят эпюру нормальных напряжений s. Для этого вычерчивают крупно поперечное сечение балки и проводят на отдельном рисунке нулевую линию перпендикулярно нейтральной оси. Затем на уровне крайних точек сечения (верхней и нижней) откладывают найденные ранее значения s max и s min и соединяют эти значения прямой линией. Полученный график называется эпюрой s. Значения s max и s min откладывают по разные стороны от нулевой линии.

5. Проверяют прочность принятой двутавровой балки по касательным напряжениям. наибольшие касательные напряжения возникают в том сечении по длине балки, в котором действует наибольшая поперечная сила (по абсолютному значению), а по высоте сечения – на уровне нейтральной оси.

Для определения этих напряжений действительное сечение двутавра упрощают: полка и стенка принимаются прямоугольными: полка с размерами b и t , а стенка – d (см. прил. I). таким образом, сечение двутавра теперь состоит из трех прямоугольников.

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси определяют по формуле Журавского:

где Q x – поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S x – статический момент сечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; ; J x – момент инерции всего сечения, принимается по табл. 3 прил. I; b – ширина сечения балки на уровне нейтральной оси.

Проверяют прочность балки по касательным напряжениям

где R S – расчетное сопротивление материала сдвигу (прил. VIII).

6. Строим эпюру касательных напряжений t. К4асательные напряжения изменяются по высоте балки по криволинейному закону и имеют скачок в месте соединения полки и стенки. Поэтому эпюру t строят по значениям, найденным в пяти точках сечения: крайних точках, на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения стенки и полки - чуть ниже и чуть выше этого сопряжения.

Напряжение в этих точках определяется по формуле Журавского. При этом статический момент S x и ширина сечения b определяются для каждой точки сечения. Касательные напряжения в крайних точках сечения равны нулю.

Пример 14. Подобрать сечение стальной двутавровой балки (рис. 46, а ). Проверить прочность принятого сечения по нормальным напряжениям в сечении с наибольшим изгибающим моментом и по касательным напряжениям в сечении с наибольшей поперченной силой. Материал – сталь марки С-235.

Решение.

1. Строим эпюры Q x и M x (см. пример 10, практическая работа № 9). Наибольшее значение поперечной силы Q max =73,6кН , изгибающего момента M max =95,4кН∙м (см. рис. 25).

2. Подберем сечение стальной двутавровой балки по наибольшему изгибающему моменту

где R =230 МПа – расчетное сопротивление стали марки С-235 (прил. VIII).

По табл. 3 прил. I принимаем двутавр № 30 с что больше чем

3. Проверим прочность принятого сечения:

Прочность сечения по нормальным напряжениям обеспечена.

4. Строим эпюру нормальных напряжений. Отложим от нулевой линии 0-0 (рис. 26, б ) значение и и соединим полученные точки. Верхняя часть испытывает сжатие, нижняя – растяжение, т.к. по эпюре M x видно, что балка прогибается (обращена выпуклостью) вниз.

5. Проверим прочность балки по касательным напряжениям. заменим действительное сечение упрощенным (рис. 26, в). Размеры приняты по табл. 3 прил. I.

Определим наибольшее касательное напряжение

Подобрать сечение стальной двутавровой балки (рис. 27), проверить принятое сечение по нормальным и по касательным напряжениям и построить эпюры s и t для соответствующих сечений. Материал – сталь С-245.

Рис. 27 Продолжение

Рис. 27 Окончание

Практическая работа № 14

Технические характеристики металлического профиля необходимы, чтобы их правильно применять в строительстве, ведь несмотря на большое разнообразие сфер применения, суть остается одна – создать надежную несущую конструкцию. Она позволяет преобразовывать архитектуру сооружений:

увеличивает ширину пролетов зданий;
значительно, примерно на 35%, уменьшить массу несущих конструкций;
существенно увеличить рентабельность проектов.

Говоря о достоинствах конструкции, нельзя не отметить и минусы, хотя их немного. Основные из них – это

необходимость применять при создании ребер жесткости дополнительную арматуру;
достаточно существенные трудозатраты, которые нужны для ее изготовления.

Однако, следует отметить, что с другой стороны дополнительные ребра жесткости дают возможность:

уменьшить общую металлоемкость сварной металлоконструкции, так как ощутимо уменьшают толщину стенок. Таким образом удается понизить ее стоимость, но целиком сохранить механические характеристики;
помимо этого облегченная конструкция экономична и с точки зрения устройства фундамента, поскольку после снижения общей массы можно использовать фундамент под БМЗ (быстровозводимые здания).

Чтобы найти двутавр, подходящий для конкретного случая, требуется произвести некоторые расчеты. Обычно для этого используют таблицы или онлайн калькуляторы. В их основе лежат заданные два параметра: расстояние от одной стены до другой и будущая нагрузка на строительную конструкцию.

Прочность двутавровой балки определяется такими параметрами, как:

длина,
метод закрепления,
форма,
площадь поперечного сечения.

Большее распространение получили изделия с буквой «Н» в сечении.

На заметку

Жесткость металлической конструкции двутавра в 30 раз превышает жесткость квадратного профиля, а прочность, соответственно, в 7 раз.

В калькуляторе выбирают соответствующий номер двутавра и вводят необходимый метраж. Как видите, полученное значение больше рассчитанного нами на 0,12 кг.

Несущая способность

Среди всех типов балок двутавровая имеет наибольшую прочность, более того, она устойчива к температурным перепадам. Допустимая нагрузка на двутавр бывает указана на маркировке, как размер. Чем больше число, указанное в его наименовании, тем большую нагрузку может воспринимать балка.

Любой расчет предполагает изначальное знание размеров прокатного или сварного профиля, его длины и ширины. Проясним смысл значения ширины на примере самой популярной балочной опоры – колонны.

Пример расчета

Предположим, что в сечении колонны лежит квадрат со стороной 510 мм, тогда на нее можно будет опереть профиль, для которого ширина не может превышать 460 мм. Это связано с тем, что двутавр придется приваривать к железобетонной подушке, а для сварочных швов понадобится запас, по крайней мере, в 40 мм.

После определения ширины переходят к выбору профиля и расчету нагрузки, воздействующей на профиль. Она представляет собой совокупность воздействий от перекрытия, а также воздействий временного и постоянного характера.

На заметку

Нагрузку, выражающую величину нормативной нагрузки, собирают на длину 1 м профиля.

Но, расчет несущей способности двутавровой балки предполагает учет другого воздействия. Чтобы получить расчетную нагрузку, рассчитанное нормативное воздействие умножается на так называемый коэффициент прочности по нагрузке. Остается к результату прибавить уже подсчитанную массу изделия и найти его момент сопротивления.

Полученных данных достаточно, чтобы из подобрать профиль, необходимый для изготовления сварного профиля. Как правило, с учетом прогиба конструкции рекомендуется выбирать профиль выше на два порядка.

Сварная металлическая конструкция должна использовать примерно 70–80% от максимально допустимого прогиба.

Усиление

Если несущая способность двутавра оказывается недостаточной, то возникает необходимость ее усиления. Для различных элементов сварной конструкции этот вопрос решается по-разному.

К примеру, для элементов, воспринимающих нагрузки типа растяжения, сжатия или изгиба, используют такой вариант усиления: увеличивают сечение, иначе говоря, повышают жесткость, скажем, приварив дополнительные детали.

Теоретически – это один из лучших вариантов усиления, однако, при его реализации не всегда удается получить требуемый результат. Дело в том, что элементы в процессе сварочных работ нагреваются, а это несет за собой уменьшение несущей способности.

В какой степени можно ожидать такого понижения зависит от размеров двутавра и режима и направления сварочных работ. Если для продольных швов максимальное понижение оказывается в пределах 15%, то для швов в поперечном направлении оно может достичь и 40%.

Внимание

Поэтому при усилении двутавра под нагрузкой категорически запрещено накладывать швы в направлении, поперечном к элементу.

Расчетно и экспериментально было доказано, что оптимального результата усиления под нагрузкой можно получить при максимальном напряжении в 0,8 R y , то есть 80% расчетного сопротивления стали, которая была использована для изготовления двутавра.