ДИОФАНТ
(конец III века н. э.)
Греческие математики, столь много внесшие в современную науку, занимались, в основном, геометрическими проблемами. При этом - как известно многие греческие ученые находились под влиянием философии Платона, считавшего геометрию наукой, которой достойны заниматься только представители умственной элиты греческого общества. В этих условиях, геометрия превратилась в своеобразную гимнастику ума, в искусство, а ее практическое применение считалось унизительным, являлось профанацией этого искусства. Авторитет Платона в те времена был непререкаемым фактором общественного мнения и оценки явлений. По этой причине развитие арифметики и алгебры как дисциплин сугубо связанных с практическими нуждами, встречалось с серьезными препятствиями. Конечно, грекам приходилось
заниматься вопросами этих дисциплин, но проблемам алгебры и арифметики в этом случае придавались геометрические формы. В качестве реликтов такого подхода, в современном языке остались определения: „возвести в квадрат" или в „куб". Но, одновременно, греки способствовали внедрению в расчеты буквенных обозначений, и тем самым - развитию алгебры. Древнегреческие математики обозначали точки, прямые и плоскости прописными буквами, а цифры - строчными. Коренной перелом в древнегреческой математической традиции совершил выдающийся математик из Александрии Диофант, живший в третьем веке нашего летосчисления. Это был первый ученый, который занялся преимущественно алгеброй.
Деятельность Диофанта совпала с упадком Греции завоеванной - как известно - Римом. Греческие ученые нашли себе убежище в Египте, главным образом в Александрии, которая к тому времени стала центром мировой культуры. В Александрии была создана великолепная библиотека, которая ко временам Диофанта стала центром мировой культуры и гуманитарных наук, в Александрии возник т. н. Мусейон (храм или святилище муз), где сосредоточилась деятельность самых выдающихся представителей естественно-математических наук. В числе этих ученых был и Диофант, математик, который, благодаря знакомству с сирийскими и индийскими математиками, перенес в греческую науку достижения вавилонян в области алгебры.
Существуют только отрывочные сведения о жизни Диофанта, нет даже данных о дне его рождения и смерти. Впрочем, некоторые подробности, к сожалению не весьма существенные, можна установить из „Эпитафии Диофанта", которую греческий монах XIV века, Максуим Плануд поместил в своей антологии.
В этой могиле, Диофанта покоится прах, того Диофанта, который дивным
Искусством владел, позволяющим всем из письмен на этом камне начертанным умершего жизни предел рассчитать
Шестую часть жития по милости божией отроком был Диофант неразумным
Борода у него на лице появилась когда миновала двенадцатая часть его
Жития, а когда истекла часть седьмая Младую супругу ввел бог под кров его дома, Которая на супружества пятом году, малюткой сыночком его одарила.
Однако жесток был судьбы приговор: сын молодой в мрачное царство теней отошел достигнув едва половины жизни отца.
Утоляя отцовскую боль, Диофант среди чисел искал утешенья
Четыре коротких года спустя он с жизнью навеки расстался.
Решая эту задачу, можем определить, что знаменитый Диофант, по справедливости считающийся „отцом алгебры", жил 84 года. Детские его годы длились 14 лет, на 21 году у него „Борода на лице появилась…", женился он в 33 года, на 38 году жизни у него родился сын, который умер 42 лет от роду, то есть на 80 году жизни Диофанта, искавшего утешения в математике еще 4 дальнейших года жизни.
Главный труд Диофанта „Арифметика" (ок. 250-275 г. г.) состоял из 13 книг, из которых, к сожалению, сохранилось только 6. Но из того, что осталось после Диофанта,
можно судить о его гениальных достижениях в алгебре. Ученый умел решать уравнения до третьей степени включительно, вводил в них больше неизвестных, чем это делали вавилоняне, и применял для неизвестных буквенные обозначения. Диофант пользовался специальным символом для вычитания и ввел в обиход сокращенные слова для отдельных определений и действий. Таким образом, Диофанта можно считать автором первого алгебраического языка. Например, уравнение:
в котором: „аг" (сокращение от „aritmos" - число) означает неизвестное, „то" (сокращение от „monas") единица, „is" („иол") - равняется, соответствует уравнению в нашем начертании:
Из этого примера видно, что Диофант, вместо полного словесного описания алгебраических выражений, (риторическая алгебра), ввел сокращенные обозначения (син-коптическая алгебра).
Из 189 уравнений, которые сохранились в „Арифметике" со всей ясностью видно, что Диофант обращал главное внимание на решение положительных, рациональных неопределенных уравнений, то есть, в основном, имеющих большое число корней. Диофант интересовался, однако, только одними решениями - „положительными" и „рациональными", В поисках таких решений, Диофант проявил большую изобретательность в подборе коэффициентов, чтобы получить такое решение. Из других работ Диофанта, кроме „Арифметики" сохранились фрагменты трактата о многократных числах и отрывок рассуждений о египетской математике.
». Автор «Арифметики» - книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений . В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
Она эквивалентна решению следующего уравнения:
x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 {\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}Это уравнение даёт x = 84 {\displaystyle x=84} , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.
Арифметика Диофанта
Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός ) и обозначает буквой ς , квадрат неизвестной - символом Δ Υ (сокращение от δύναμις - «степень»), куб неизвестной - символом Κ Υ (сокращение от κύβος - «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.
Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος - «равный»).
Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
Бо́льшая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений . Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные , что не типично для античных математиков.
Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.
Влияние Арифметики на развитие математики
В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .
Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма ; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком , он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма .
В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики . И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего - Гипатия .
Другие сочинения Диофанта
. М., Наука, 1970.Введение
Можно увидеть, что за более чем полуторатысячелетний период времени математическая наука в Греции имела значительные достижения.
В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков, таких как Диофант.
Развитию алгебры препятствовало то, что еще недостаточно вошли в употребление символические записи, намек на которые мы впервые встречаем в трудах Диофанта, пользовавшегося лишь отдельными символами и сокращениями записи.
Цель работы исследовать арифметику Диофанта.
Биография Диофанта
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н.э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сумзить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что «учёнейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идёт о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н.э. и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина III века н.э.
Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста «Введения», интересовался арифметикой и её преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространённым, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришёл к выводу, что Диофант жил в середине III века н.э. Мы можем, за неимением лучшего, принять эту дату.
Зато место жительства Диофанта хорошо известно - это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н.э. достался его полководцу Птолемею Лагу, который перенёс столицу в новый город - Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Размерами его превзошёл впоследствии Рим, но долгое время ему не было равного. И вот именно этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные учёные, причём им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками. При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая в лучшие свои дни насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что учёные и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.
Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н.э. он пришёл во временный упадок, связанный с общим упадком дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н.э.), но затем в первые века н.э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении её соперником: римской науки (мы имеем в виду естественные науки) просто не существовало, и римляне оставались верными заветам Вергилия, писавшего:
Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу, -
Верю тому, - создадут из мрамора лики живые,
Красноречивее будут в судах, движения неба
Тростью начертят своей и вычислят звёзд восхожденья,
Ты же, римлянин, знай, как надо народами править.
И если в III-II веках до н.э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I-III веках н.э. здесь работали такие учёные как Герон, Птолемей и Диофант.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н.э.
Коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
| Диофант Александрийский | |
|---|---|
| Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς | |
| Дата рождения | не ранее и не позднее или |
| Место рождения |
|
| Дата смерти | не ранее и не позднее |
| Страна |
|
| Научная сфера | теория чисел |
| Известен как | «отец алгебры» |
| Диофант Александрийский на Викискладе | |
Биография
О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), - откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - никто иной, как епископ Дионисий Александрийский , живший в середине III в. н. э.
Она эквивалентна решению следующего уравнения:
x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 {\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}Это уравнение даёт x = 84 {\displaystyle x=84} , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.
Арифметика Диофанта
Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 (или 10, см. ниже) первых книг из 13.
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός ) и обозначает буквой ς , квадрат неизвестной - символом Δ Υ (сокращение от δύναμις - «степень»), куб неизвестной - символом Κ Υ (сокращение от κύβος - «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.
Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος - «равный»).
Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.
Бо́льшая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189, вместе с четырьмя из арабской части - 290), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений . Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные , что не типично для античных математиков.
Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.
Влияние Арифметики на развитие математики
В X веке Арифметика была переведена на арабский язык (см. Куста ибн Лука), после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .
Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма ; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком , он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма .
В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики . И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего - Гипатия . Однако существенный разрыв в методике решений задач первых трёх и последних трёх книг хорошо заполняется четырьмя книгами арабского перевода. Это заставляет пересмотреть результаты предыдущих исследований. . [ ]
Другие сочинения Диофанта
Трактат Диофанта О многоугольных числах (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.
Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (ἐπιπεδομετρικά ) и Об умножении (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) также сохранились лишь отрывки.
Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике .
См. также
Collection Budé » (опубликованы 2 тома: Кн. 4 - 7).
Исследования:
- Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта // Историко-математические исследования. - М., 1978. - Вып. XXIII. - С. 192 - 225.
- Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых: (От Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. - 1975. - Вып. 20. - С. 104 - 124.
- Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М.: Наука, 1972 (Репринт.: М.: ЛКИ, 2007). Пер. на нем. яз.: Diophant und diophantische Gleichungen . - Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Пер. на англ. яз.: Diophantus and Diophantine Equations / Transl. by A. Shenitzer with the editorial assistance of H. Grant and updated by J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. - № 20. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
- Башмакова И. Г. Диофант и Ферма: (К истории метода касательных и экстремумов) // Историко-математические исследования. - М., 1967. - Вып. VII. - С. 185 - 204.
- Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. - М.: Наука, 1984.
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. - Т. I: С древнейш. времён до начала Нов. времени / Под ред. А. П. Юшкевича . - М., Наука, 1970.
- Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки // Историко-математические исследования. - М., 1975. - Вып. 20. - С. 63 - 103.
- Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования. - М., 2003. - Вып. 8 (43). - С. 267 - 277.
- Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. - Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
- Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - P. 180 - 192.
- Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - P. 289 - 305.
- Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique. - De Gruyter, 2013.
Диофант Александрийский – древнегреческий математик.
До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику
Произведения Диофанта
Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.
Способ решения уравнения 1-й степени Диофанта:
«Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу.
Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые.
Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по одному члену с каждой стороны».
Таким путем Диофант достигал того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвестных - в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном.
При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.
Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа.
(-) х (-) = (+) ,
(-) х (+) = (-) .
Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число.
Однако для построения алгебры одних только положительных дробей недостаточно, и Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа. Для этого он выбирает метод, известный теперь как аксиоматический: он определяет новый объект, который называет «недостатком», и формулирует правила действий с ним. Диофант пишет: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, даёт недостаток». Это «правило знаков» мы можем записать так:
Задача о пифагоровых тройках .
Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х2 + у2 = z2 Что напоминает вам это уравнение? Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41).
Задача Метродора о Диофанте из Палатинской антологии
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком и половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:
Пусть Диофант прожил x
Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:
